Ta có \(A=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^2+...+\left(\frac{3}{2}\right)^{2012}\)
\(\Rightarrow\frac{3}{2}A=\frac{3}{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^2+\left(\frac{3}{2}\right)^3+....\left(\frac{3}{2}\right)^{2013}\)
\(\Rightarrow\frac{3}{2}A-A=\left(\frac{3}{2}\right)^{2013}-\frac{1}{2}\)hay \(\frac{1}{2}A=\left(\frac{3}{2}\right)^{2013}-\frac{1}{2}\)
Suy ra \(A=2.\text{[}\left(\frac{3}{2}\right)^{2013}-\frac{1}{2}\text{]}\)
Khi đó \(B-A=\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^{2013}}{2}-2.\text{[}\left(\frac{3}{2}\right)^{2013}-\frac{1}{2}\text{]}\)
\(A=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^2+...+\left(\frac{3}{2}\right)^{2012}\)
\(\frac{3}{2}.A=\frac{3}{4}+\left(\frac{3}{2}\right)^2+\left(\frac{3}{2}\right)^3+...+\left(\frac{3}{2}\right)^{2013}\)
\(\Rightarrow\frac{3}{2}.A-A=\frac{3}{4}+\left(\frac{3}{2}\right)^2+\left(\frac{3}{2}\right)^3+...+\left(\frac{3}{2}\right)^{2013}-\left[\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^2+...+\left(\frac{3}{2}\right)^{2012}\right]\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}.A=\frac{3}{4}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2013}-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2013}-\frac{5}{4}\)
\(\Rightarrow A=2.\left(\frac{3}{2}\right)^{2013}-\frac{5}{2}\)
\(B-A=\frac{1}{2}.\left(\frac{3}{2}\right)^{2013}-2.\left(\frac{3}{2}\right)^{2013}+\frac{5}{2}=-\left(\frac{3}{2}\right)^{2014}+\frac{5}{2}\)
