Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Pham Van Hung

Cho \(a;b;c\in R\) thoả mãn \(\left(a^4+b^4\right)\left(b^4+c^4\right)\left(c^4+a^4\right)=8\)

C/m \(\left(a^2-ab+b^2\right)\left(b^2-bc+c^2\right)\left(c^2-ca+a^2\right)\ge1\)

 

Agatsuma Zenitsu
23 tháng 1 2020 lúc 22:08

Ta chứng minh: \(2\left(a^2-ab+b^2\right)^2\ge b^4+a^4\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)^2\ge0\)( Luôn đúng \(\forall a;b\))

Tương tự có: \(2\left(b^2-bc+c^2\right)^2\ge b^4+c^4\left(2\right)\)

Và: \(2\left(c^2-ca+a^2\right)^2\ge a^4+c^4\left(3\right)\)

Ta nhân các vế trên ta được: \(8\left(a^2-ab+b^2\right)^2\left(b^2-bc+c^2\right)^2\left(c^2-ca+a^2\right)^2\ge\left(a^4+b^4\right)\left(b^4+c^4\right)\left(c^4+a^4\right)=8\)

Hay: \(\left(a^2-ab+b^2\right)\left(b^2-bc+c^2\right)\left(c^2-ca+a^2\right)\ge1\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Khách vãng lai đã xóa
Buffalo
24 tháng 1 2020 lúc 7:18

Trâu bò:

Giả sử c = min{a,b,c}

Đặt a =x +c; b = y +c;c=c thì x,y >= 0

C/m: \(8\left[\left(a^2-ab+b^2\right)\left(b^2-bc+c^2\right)\left(c^2-ca+a^2\right)\right]^2\ge\left(a^4+b^4\right)\left(b^4+c^4\right)\left(c^4+a^4\right)\)

Xét hiệu hai vế thu được:

\(c*(12*x^3*y^8-8*x^4*y^7+16*x^5*y^6+16*x^6*y^5-8*x^7*y^4+12*x^8*y^3)+c^2*(18*x^2*y^8-16*x^3*y^7+60*x^4*y^6+60*x^6*y^4-16*x^7*y^3+18*x^8*y^2)+c^3*(12*x*y^8+16*x^2*y^7+88*x^4*y^5+88*x^5*y^4+16*x^7*y^2+12*x^8*y)+c^4*(6*y^8+16*x*y^7+32*x^2*y^6-32*x^3*y^5+242*x^4*y^4-32*x^5*y^3+32*x^6*y^2+16*x^7*y+6*x^8)+7*x^4*y^8+c^5*(16*y^7+16*x*y^6+88*x^3*y^4+88*x^4*y^3+16*x^6*y+16*x^7)-16*x^5*y^7+c^6*(24*y^6-16*x*y^5+60*x^2*y^4+60*x^4*y^2-16*x^5*y+24*x^6)+24*x^6*y^6+c^7*(16*y^5-8*x*y^4+16*x^2*y^3+16*x^3*y^2-8*x^4*y+16*x^5)-16*x^7*y^5+c^8*(8*y^4-16*x*y^3+24*x^2*y^2-16*x^3*y+8*x^4)+7*x^8*y^4\)Dấu " * " là nhân.

Dễ thấy nó đúng -> qed

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
hải linh lê
Xem chi tiết
nguyễn đình thành
Xem chi tiết
Lizy
Xem chi tiết
Lê Tài Bảo Châu
Xem chi tiết
Nguyễn Thiều Công Thành
Xem chi tiết
Kiệt Nguyễn
Xem chi tiết
l҉o҉n҉g҉ d҉z҉
Xem chi tiết
Nguyễn Thiều Công Thành
Xem chi tiết
Nguyễn Thiều Công Thành
Xem chi tiết