Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Luyri Vũ

Cho a,b,c\(\ge0\), a+b+c=1 

CMR: \(0\le ab+ac+bc-2abc\le\dfrac{7}{27}\)

Akai Haruma
19 tháng 6 2021 lúc 22:38

Lời giải:

Vế đầu:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$(ab+bc+ac)(a+b+c)\geq 9abc$

$\Leftrightarrow ab+bc+ac\geq 9abc$

$\Rightarrow ab+bc+ac-2abc\geq 9abc-2abc=7abc\geq 0$ do $a,b,c\geq 0$

Vế sau:

Áp dụng BĐT Schur:

$abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=(1-2a)(1-2b)(1-2c)$

$\Leftrightarrow 9abc\geq 4(ab+bc+ac)-1$

$\Rightarrow 2abc\geq \frac{8}{9}(ab+bc+ac)-\frac{2}{9}$

$\Rightarrow ab+bc+ac-2abc\leq ab+bc+ac-[\frac{8}{9}(ab+bc+ac)-\frac{2}{9}]=\frac{ab+bc+ac}{9}+\frac{2}{9}$

$\leq \frac{(a+b+c)^2}{27}+\frac{2}{9}$ (theo BĐT AM-GM)

$=\frac{1}{27}+\frac{2}{9}=\frac{7}{27}$

Ta có đpcm.


Các câu hỏi tương tự
Tobot Z
Xem chi tiết
Uchiha Sasuke
Xem chi tiết
OoO Min min OoO
Xem chi tiết
Luyri Vũ
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
Luyri Vũ
Xem chi tiết
Bùi Đức Anh
Xem chi tiết
Rồng Đom Đóm
Xem chi tiết
Mun Amie
Xem chi tiết