Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Luyri Vũ

Cho \(a^2+b^2+c^2=1\).CMR:

\(-\dfrac{1}{2}\le ab+bc+ac\le1\)

bach nhac lam
18 tháng 6 2021 lúc 22:40

\(a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=1+2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow1+2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge-\dfrac{1}{2}\)

Ta c/m: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) ( luôn đúng \(\forall a,b,c\)

Do đó \(ab+bc+ca\le1\)

๖ۣۜDũ๖ۣۜN๖ۣۜG
18 tháng 6 2021 lúc 22:52

- Áp dụng bdt Co-si, ta có:

\(a^2+b^2\ge2ab\)

\(b^2+c^2\ge2bc\)

\(c^2+a^2\ge2ca\)

=> \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

<=> \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

<=> \(1\ge ab+bc+ca\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = \(\pm\sqrt{\dfrac{1}{3}}\)

                                                                                                                                                                                                                                                                                                           


Các câu hỏi tương tự
Tobot Z
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
Hoàng Việt Hà
Xem chi tiết
Luyri Vũ
Xem chi tiết
Rồng Đom Đóm
Xem chi tiết
OoO Min min OoO
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
Niii
Xem chi tiết
Khởi My
Xem chi tiết