Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Khởi My

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ac=3abc. Chứng minh rằng

\(\dfrac{1}{2a^2+b^2}+\dfrac{1}{2b^2+c^2}+\dfrac{1}{2c^2+a^2}\le1\)

Unruly Kid
1 tháng 3 2019 lúc 14:38
\(ab+bc+ca=3abc\Rightarrow \frac{ab+bc+ca}{abc}=3\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\) \(\frac{1}{2a^2+b^2}+\frac{1}{2b^2+c^2}+\frac{1}{2c^2+a^2}=\frac{1}{a^2+(a^2+b^2)}+\frac{1}{b^2+(b^2+c^2)}+\frac{1}{c^2+(c^2+a^2)}\)\(\leq \frac{1}{a^2+2ab}+\frac{1}{b^2+2bc}+\frac{1}{c^2+2ca}\)\(= \frac{1}{9}(\frac{9}{a^2+ab+ab}+\frac{9}{b^2+bc+bc}+\frac{9}{c^2+ca+ca})\)\(\leq \frac{1}{9}(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ca})\)\(= \frac{1}{9}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2\) \(= \frac{1}{9}.3^2=1\) Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Các câu hỏi tương tự
camcon
Xem chi tiết
Ma Sói
Xem chi tiết
Phạm Duy Phát
Xem chi tiết
Yu gi Oh Magic
Xem chi tiết
Vũ Đăng Thành
Xem chi tiết
baoanh mai
Xem chi tiết
Đạt Nguyễn
Xem chi tiết
camcon
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết