Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
camcon

Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn abc = 1. Tìm GTLN của biểu thức 

\(P=\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}+\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}+\dfrac{1}{c^2+2a^2+3}\)

Nguyễn Việt Lâm
31 tháng 12 2021 lúc 0:05

\(a^2+2b^2+3=\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+1\right)+2\ge2ab+2b+2=2\left(ab+b+1\right)\)

Tương tự ...

\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{2\left(ab+b+1\right)}+\dfrac{1}{2\left(bc+c+1\right)}+\dfrac{1}{2\left(ca+a+1\right)}\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{abc+bc+c}+\dfrac{1}{bc+c+1}+\dfrac{bc}{ca.bc+a.bc+bc}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{1+bc+c}+\dfrac{1}{bc+c+1}+\dfrac{bc}{c+1+bc}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c+1+bc}{1+bc+c}\right)=\dfrac{1}{2}\)

\(P_{max}=\dfrac{1}{2}\) khi \(a=b=c=1\)


Các câu hỏi tương tự
DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Nguyễn Hải An
Xem chi tiết
Lê Đình Dương
Xem chi tiết
camcon
Xem chi tiết
Phạm Phương Anh
Xem chi tiết
camcon
Xem chi tiết
GG boylee
Xem chi tiết
Cậu bé nhỏ nhắn
Xem chi tiết