Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Vũ Đăng Thành

cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=\dfrac{1}{3}\)

chứng minh \(\dfrac{1}{2a^2+b^2}+\dfrac{1}{2b^2+c^2}+\dfrac{1}{2c^2+a^2}\le\dfrac{1}{9}\)

 Mashiro Shiina
12 tháng 3 2018 lúc 5:59

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

\(\dfrac{1}{2a^2+b^2}=\dfrac{1}{a^2+a^2+b^2}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2b^2+c^2}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)\\\dfrac{1}{2c^2+a^2}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{1}{a^2}\right)\end{matrix}\right.\)

Cộng theo vế:

\(L\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{3}{a^2}+\dfrac{3}{b^2}+\dfrac{3}{c^2}\right)=\dfrac{1}{9}\left[3\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)\right]=\dfrac{1}{9}\)


Các câu hỏi tương tự
Ma Sói
Xem chi tiết
camcon
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Khởi My
Xem chi tiết
Hoai Bao Tran
Xem chi tiết
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Cậu bé nhỏ nhắn
Xem chi tiết
Nguyễn Thế Hiếu
Xem chi tiết