Question

Cho a,b,c,d thuộc (0,1). Chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau sai:

2a(1-b)>1 ; 3b(1-c)>2 ; 8c(1-d)>1 ; 32d(1-a)>3

Answer 1

Phản chứng rằng tất cả đều đúng. Tích các bất đẳng thức lại cho ta 

\(a\left(1-a\right)b\left(1-b\right)c\left(1-c\right)d\left(1-d\right)>\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{8}\times\frac{3}{32}=\frac{1}{256}.\)

Mặt khác, ta có \(\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\to a\left(1-a\right)\le\frac{1}{4}.\) Tương tự \(b\left(1-b\right),c\left(1-c\right),d\left(1-d\right)\le\frac{1}{4}\to\)
\(a\left(1-a\right)b\left(1-b\right)c\left(1-c\right)d\left(1-d\right)