Question

Cho a,b,c,d thỏa mãn a+b=c+d;a²+b²=c²+d².Chứng minh rằng a²⁰¹³+b²⁰¹³=c²⁰¹³+d²⁰¹³

Answer 1

Lời giải:

$a+b=c+d$

$(a+b)^2=(c+d)^2\Rightarrow a^2+b^2+2ab=c^2+d^2+2cd$

$\Rightarrow ab=cd\Rightarrow \frac{a}{d}=\frac{c}{b}$.

Đặt $\frac{a}{d}=\frac{c}{b}=k$

$\Rightarrow a=dk; c=bk$. Khi đó:

$a+b=c+d$

$\Leftrightarrow dk+b=bk+d$

$\Leftrightarrow k(d-b)=d-b$

$\Leftrightarrow (d-b)(k-1)=0$

$\Rightarrow d=b$ hoặc $k=1$.

Nếu $b=d$ thì do $ab=cd\Rightarrow a=c$.

$\Rightarrow b^{2013}=d^{2013}; a^{2013}=c^{2013}$

$\Rightarrow a^{2013}+b^{2013}=c^{2013}+d^{2013}$

Nếu $k=1\Rightarrow a=d; b=c$

$\Rightarrow a^{2013}=d^{2013}; b^{2013}=c^{2013}$

$\Rightarrow a^{2013}+b^{2013}=c^{2013}+d^{2013}$

Answer 2

Lời giải:

$a+b=c+d$

$(a+b)^2=(c+d)^2\Rightarrow a^2+b^2+2ab=c^2+d^2+2cd$

$\Rightarrow ab=cd\Rightarrow \frac{a}{d}=\frac{c}{b}$.

Đặt $\frac{a}{d}=\frac{c}{b}=k$

$\Rightarrow a=dk; c=bk$. Khi đó:

$a+b=c+d$

$\Leftrightarrow dk+b=bk+d$

$\Leftrightarrow k(d-b)=d-b$

$\Leftrightarrow (d-b)(k-1)=0$

$\Rightarrow d=b$ hoặc $k=1$.

Nếu $b=d$ thì do $ab=cd\Rightarrow a=c$.

$\Rightarrow b^{2013}=d^{2013}; a^{2013}=c^{2013}$

$\Rightarrow a^{2013}+b^{2013}=c^{2013}+d^{2013}$

Nếu $k=1\Rightarrow a=d; b=c$

$\Rightarrow a^{2013}=d^{2013}; b^{2013}=c^{2013}$

$\Rightarrow a^{2013}+b^{2013}=c^{2013}+d^{2013}$