Câu hỏi của Trần Tiến Đạt

Question

cho a,b,c,d là các số nguyên dương thỏa mãn a^2+c^2=b^2+d^2 Chứng minh rằng: a+b+c+d là hợp số

Vũ Ngọc Anh · Accepted Answer

Xét : $\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)-\left(a+b+c+d\right)$

$=a\left(a-1\right)+b\left(b-1\right)+c\left(c-1\right)+d\left(d-1\right)$

Vì $a$ là  số nguyên dương nên $a,\left(a-1\right)$ là hai số tự nhiên liên tiếp .

$\Rightarrow a\left(a-1\right)$ chia hết cho 2. Tương tự ta có : $b\left(b-1\right);c\left(c-1\right);d\left(d-1\right)$ đều chia hết cho 2.

$\Rightarrow a\left(a-1\right)+b\left(b-1\right)+c\left(c-1\right)+d\left(d-1\right)$ là số chẵn .

Lại có : $a^2+c^2=b^2+d^2\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2=2\left(b^2+d^2\right)$ là số chẵn .

Do đó : $a+b+c+d$ là số chẵn mà $a+b+c+d>2$ (Do $a,b,c,d\inℕ^∗$)

Vậy : $a+b+c+d$ là hợp số .Câu trả lời: Xét : $\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)-\left(a+b+c+d\right)$

$=a\left(a-1\right)+b\left(b-1\right)+c\left(c-1\right)+d\left(d-1\right)$

Vì $a$ là  số nguyên dương nên $a,\left(a-1\right)$ là hai số tự nhiên liên tiếp .

$\Rightarrow a\left(a-1\right)$ chia hết cho 2. Tương tự ta có : $b\left(b-1\right);c\left(c-1\right);d\left(d-1\right)$ đều chia hết cho 2.

$\Rightarrow a\left(a-1\right)+b\left(b-1\right)+c\left(c-1\right)+d\left(d-1\right)$ là số chẵn .

Lại có : $a^2+c^2=b^2+d^2\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2=2\left(b^2+d^2\right)$ là số chẵn .

Do đó : $a+b+c+d$ là số chẵn mà $a+b+c+d>2$ (Do $a,b,c,d\inℕ^∗$)

Vậy : $a+b+c+d$ là hợp số .

minh nguyen · Answer

Xét : (�2+�2+�2+�2)−(�+�+�+�)(a2+b2+c2+d2)−(a+b+c+d)

=�(�−1)+�(�−1)+�(�−1)+�(�−1)=a(a−1)+b(b−1)+c(c−1)+d(d−1)

Vì �a là  số nguyên dương nên �,(�−1)a,(a−1) là hai số tự nhiên liên tiếp .

⇒�(�−1)⇒a(a−1) chia hết cho 2. Tương tự ta có : �(�−1);�(�−1);�(�−1)b(b−1);c(c−1);d(d−1) đều chia hết cho 2.

⇒�(�−1)+�(�−1)+�(�−1)+�(�−1)⇒a(a−1)+b(b−1)+c(c−1)+d(d−1) là số chẵn .

Lại có : �2+�2=�2+�2⇒�2+�2+�2+�2=2(�2+�2)a2+c2=b2+d2⇒a2+b2+c2+d2=2(b2+d2) là số chẵn .

Do đó : �+�+�+�a+b+c+d là số chẵn mà �+�+�+�>2a+b+c+d>2 (Do �,�,�,�∈N∗a,b,c,d∈N∗)