Question

Cho a,b,c,d >0. Chứng minh:

\(\frac{1}{a^4+b^4+c^4+abcd^{ }}+\frac{1}{a^4+b^4+d^4+abcd}+\frac{1}{a^4+c^4+d^4+abcd^{ }^{ }}+\frac{1}{b^4+c^4+d^4+abcd}\le\frac{1}{abcd}\)

Answer 1

ngu nguoi

Answer 2

ngu nguoi

Answer 3

Hon ca su quan tam: quan tâm thế mà cũng đòi lấu nick là quan tâm

giỏi thì làm đừng ở đó mà phỉ báng người khác

Đồ Hèn TA KHINH!!!!!!!!!!!!!!

Answer 4

cái loại như vậy chỉ để người ta khinh thôi

Answer 5

Dễ dàng chứng minh được với mọi  \(a,b,c,d>0,\)  thì ta luôn có:

\(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)

nên  \(a^4+b^4+c^4+abcd\ge abc\left(a+b+c\right)+abcd=abc\left(a+b+c+d\right)\)

Do đó, vì hai vế của bất đẳng thức cùng dấu nên ta nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức:

\(\frac{1}{a^4+b^4+c^4+abcd}\le\frac{1}{abc\left(a+b+c+d\right)}\)  \(\left(1\right)\)

Hoàn toàn tương tự với vòng hoán vị  \(b\)  \(\rightarrow\)  \(c\)  \(\rightarrow\)  \(d\)  \(\rightarrow\)  \(a\), ta cũng chứng minh được:

\(\frac{1}{a^4+b^4+d^4+abcd}\le\frac{1}{abd\left(a+b+c+d\right)}\)  \(\left(2\right)\)  

\(\frac{1}{a^4+c^4+d^4+abcd}\le\frac{1}{acd\left(a+b+c+d\right)}\)  \(\left(3\right)\)

\(\frac{1}{b^4+c^4+d^4+abcd}\le\frac{1}{bcd\left(a+b+c+d\right)}\)   \(\left(4\right)\)

Cộng từng vế  \(\left(1\right);\)  \(\left(2\right);\)  \(\left(3\right)\)  và  \(\left(4\right),\)  ta có:

\(VT\le\frac{1}{abc\left(a+b+c+d\right)}+\frac{1}{abd\left(a+b+c+d\right)}+\frac{1}{acd\left(a+b+c+d\right)}+\frac{1}{bcd\left(a+b+c+d\right)}=\left(\frac{1}{a+b+c+d}\right).\left(\frac{a+b+c+d}{abcd}\right)=\frac{1}{abcd}=VP\)

Dấu  \("="\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(a=b=c=d\)