Đề bài đúng : Cho a + b + c = 1 . Chứng minh : \(\frac{3}{ab+bc+ac}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2}>14\)
Ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(a+b\right)^2\ge0\\\left(b+c\right)^2\ge0\\\left(c+a\right)^2\ge0\end{cases}\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge}ab+bc+ac\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\Rightarrow\frac{1}{ab+bc+ac}\ge\frac{3}{\left(a+b+c\right)^2}\)Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\), ta được ;
\(\frac{3}{ab+bc+ac}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2}=2\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{2ab+2bc+2ac}\right)+\frac{2}{ab+bc+ac}\ge\frac{2.4}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{2}{ab+bc+ac}\ge\frac{8}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{6}{\left(a+b+c\right)^2}=14\)
Dấu "=" không xảy ra.
Vậy ta được điều phải chứng minh.
a có : a + b 2 ≥ 0 b + c 2 ≥ 0 c + a 2 ≥ 0 ⇒a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ac⇒ a + b + c 2 ≥ 3 ab + bc + ac ⇒ ab + bc + ac 1 ≥ a + b + c 2 3 Áp dụng bất đẳng thức x 1 + y 1 ≥ x + y 4 , ta được ; ab + bc + ac 3 + a 2 + b 2 + c 2 2 = 2 a 2 + b 2 + c 2 1 + 2ab + 2bc + 2ac 1 + ab + bc + ac 2 ≥ a + b + c 2 2.4 + ab + bc + ac 2 ≥ a + b + c 2 8 + a + b + c 2 6 = 14 Dấu "=" không xảy ra. Vậy ta được điều phải chứng minh. Đúng 1 Gửi câu trả lời của bạn Hãy gửi một câu trả lời để giúp nhung nguyễn ﴾/thanhvien/kikinguyencute@gmail.com﴿ giải bài toán này, bạn có thể nhận được điểm hỏi đáp và phần thưởng của Online Math dành cho thành viên tích cực giúp đỡ các bạn khác trên Online Math! Gửi câu trả lời Nội quy chuyên mục ﴾/tin‐ tuc/Cac‐thong‐tin‐can‐biet‐khi‐ Trả lời 1 Đánh dấu cho a+b+c=1 chứng minh ab + ac + ab 3 + a 2 + b 2 + c 2 2 >14 {
