Question

cho a,b,c>0va abc=1

cmr\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}+\frac{c^3}{\left(1+b\right)\left(1+a\right)}\ge\) \(\frac{3}{4}\)

Answer 1

Đặt P = 1/a³(b + c) + 1/b³(a + c) +1/c³(a + b) 

= bc/a²(b + c) + ac/b²(a + c) + ab/c²(a + b) ------- (do abc = 1) 

= 1 / a²[(1/c) + (1/b)] + 1 / b²[(1/c) + (1/a)] + 1 / c²[(1/b) + (1/a)] 

= (1/a²) / [(1/c) + (1/b)] + (1/b²) / [(1/c) + (1/a)] + (1/c²) / [(1/b) + (1/a)] 

Đặt 1/a = x, 1/b = y, 1/c = z thì xyz = 1 

Và khi đó: 

P = x²/(y + z) + y²/(z + x) + z²/(x + y) 

Sử dụng BĐT Cauchy: 

♠ x²/(y + z) + (y + z)/4 ≥ x 

♠ y²/(z + x) + (z + x)/4 ≥ y 

♠ z²/(x + y) + (x + y)/4 ≥ z 

Cộng vế 3 BĐT trên ta được 

P + (x + y + z)/2 ≥ x + y + z 

Hay: 

P ≥ (x + y + z)/2 

Lại theo Cauchy thì x + y + z ≥ 3.³√(xyz) = 3 

Nên P ≥ 3/2 (và ta được đpcm)   

Answer 2

https://olm.vn/hoi-dap/question/1036432.html

vào đây xem nhé,cách ngắn hơn