Ta có : \(a+b+c=0\Leftrightarrow a+b=-c\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=c^2\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab=c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-c^2=-2ab\Rightarrow\frac{ab}{a^2+b^2-c^2}=-\frac{1}{2}\)
Tương tự : \(\frac{bc}{b^2+c^2-a^2}=-\frac{1}{2};\frac{ac}{a^2+c^2-b^2}=-\frac{1}{2}\)
Cộng các vế với nhau được \(M=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}\)
Cho \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=1006\)
Tính \(M=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Cho a,b,c là các số dương. CMR \(\frac{ab}{a^2+bc+ca}+\frac{bc}{b^2+ca+ab}+\frac{ca}{c^2+ab+bc}\le\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\)Mọi người giúp em với ạ!
cho M =\(\frac{b-c}{a^2-ac-ab+bc}+\frac{c-a}{b^2-ab-cb+ca}+\frac{a-b}{c^2-bc-ac+ab}\) và N=\(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\) cmr M=2N
Giả sử: \(\frac{a+b}{a^2+bc}+\frac{b+c}{b^2+ca}+\frac{c+a}{c^2+ab}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{bc+a^2}{a+b}+\frac{ca+b^2}{b+c}+\frac{ab+c^2}{c+a}\ge a+b+c\)
Cho \(a,b,c>0\)
CMR :\(\frac{a^4}{b\left(b+c\right)}+\frac{b^4}{c\left(c+a\right)}+\frac{c^4}{a\left(a+b\right)}\ge\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\)
Áp dụng bđt Svac-xo ta có :
\(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\ge\frac{ab+bc+ca}{2}\)
Dấu "-" xảy ra \(< =>a=b=c\)
Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c = 1/2 và a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca =1/6. tính giá trị BT : P = \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)
Cho a,b,c thỏa mãn \(\frac{a^3}{a^{^2}+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}=1006\).Tính giá trị của biểu thức \(M=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Cho \(S=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\). CMR \(4S+1\)là số chính phương
cho a,b,c>0 chứng minh rằng:
1)\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+c}>=\frac{a+b+C}{2}\)
2)\(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}>=a+b+c\)
3)\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}< =\frac{a+b+C}{2}\)
4)\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}>=a+b+c\)
Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng:\(\frac{a}{a^2+ab+b^2}+\frac{b}{b^2+bc+c^2}+\frac{c}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{a+b+c}{a^2+b^2+c^2}\)
cho a+b+c=0. tính B=\(\frac{ab}{a^2+b^2-c^2}+\frac{bc}{b^2+c^2-a^2}+\frac{ca}{c^2+a^2-b^2}\)
