Bài làm:
Ta có: \(a^2+2b^2+3=\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+1\right)+2\ge2ab+2b+2=2\left(ab+b+1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2b^2+3}\le\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}\)
Tương tự ta CM được:
\(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\le\frac{1}{2\left(bc+c+1\right)}\)
\(\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2\left(ca+a+1\right)}\)
Cộng vế 3 BĐT trên ta được:
\(VP\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab^2c+abc+ab}+\frac{b}{abc+ab+b}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{b+1+ab}+\frac{b}{1+ab+b}\right)\)
\(=\frac{1}{2}.\frac{ab+b+1}{ab+b+1}=\frac{1}{2}.1=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=1\)
p/s : đéo biết làm thì câm mẹ mồm lại , loại súc vật như bạn ý thì cút khỏi olm cho sạch ạ !
Theo Cauchy ta dễ có : \(b^2+1\ge2\sqrt{b^2}=2b\)
\(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2ab\)
Khi đó : \(\frac{1}{a^2+2b^2+3}\le\frac{1}{2+2b+2ab}=\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}\)
Bằng cách chứng minh tương tự rồi cộng theo vế các bđt cùng chiều thì ta được :
\(VT\le\frac{1}{2}.\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{2}.\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{2}.\frac{1}{ca+a+1}=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)
Đặt \(A=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=\frac{ac}{abc.c+abc+ac}+\frac{a}{abc+ca+1}+\frac{1}{ca+a+1}=1\)
Từ đó ta thu được \(VT\le\frac{1}{2}.1=\frac{1}{2}\)hay \(\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le1\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
