Question

Cho a,b,c>0 và a+b+c=3
\(\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}\ge\frac{3}{2}\)

Answer 1

\(\left(a+b+c\right)-\left(\frac{a}{b^2+1}+\frac{c}{a^2+1}+\frac{b}{c^2+1}\right)\le\frac{3}{2}\)

\(a-\frac{a}{b^2+1}=\frac{ab^2+a-a}{b^2+1}=\frac{ab^2}{b^2+1}\)

\(b^2+1\ge2b\Rightarrow\frac{ab^2}{b^2+1}\le\frac{ab^2}{2b}=\frac{ab}{2}\)

Tương tự như vậy , ta có\(a-\frac{a}{b^2+1}+b-\frac{b}{c^2+1}+c-\frac{c}{a^2+1}\le\frac{ab+bc+ac}{2}\)

Dễ c/m được \(ab+cb+ac\le3\Rightarrow a-\frac{a}{b^2+1}+b-\frac{b}{c^2+1}+c-\frac{c}{a^2+1}\le\frac{3}{2}\)

Vậy BĐT cần c/m luôn đúng với a+b+c=3 và a,b,c>0