A = 1/ [a³(b+c)] +1/ [b³(a+c)] +1/ [ c³(a+b)]
Ta có 1 / [a³(b+c)] = b²c²/[a(b+c)] , do abc = 1 ==> 1/a² = b²c².
biến đổi tương tự cho các biểu thức còn lại và đặt ab = x, bc = y, ac = z
Suy ra A = x²/(y+z) + y²/(x+z) + z²/(x+y)
áp dụng buniacopski ta có A [ √(y+z)² + √(x+z)² + √(x+y)² ] ≥ (x+y+z)²
==> A ≥ 1/2*(x+y+z)²/(x+y+z) = 1/2( x+y+z) ≥ 3/2 √xyz = 3/2 √(abc)² = 3/2 abc =3/2 (DPCM)
IMO 1995.
\(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{\left(\frac{1}{a}\right)^2}{a\left(b+c\right)}+\frac{\left(\frac{1}{b}\right)^2}{b\left(c+a\right)}+\frac{\left(\frac{1}{c}\right)^2}{c\left(a+b\right)}\) ( svác-xơ )
\(\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{2ab+2bc+2ca}=\frac{\left(\frac{ab+bc+ca}{abc}\right)^2}{2ab+2bc+2ca}=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2ab+2bc+2ca}\)
\(=\frac{ab+bc+ca}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{2}=\frac{3}{2}\) ( cô si )
Dấu "=" xảy ra tại a=b=c=1
Bổ sung cách khác r ngủ thoi:)
Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\Rightarrow xyz=1\)
Ta có:
\(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(a+c\right)}+\frac{1}{c^3\left(b+c\right)}\)
\(=\frac{x^3}{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}+\frac{y^3}{\frac{1}{z}+\frac{1}{x}}+\frac{z^3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}\)
\(=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}\)
