Question

cho a,b,c>0 thỏa mãn abc=1.cmr

\(\frac{b+c}{a}+\frac{2a+c}{b}+\frac{4\left(a+b\right)}{a+c}\) >=9

Answer 1

Đặt \(M=\frac{b+c}{a}+\frac{2a+c}{b}+\frac{4\left(a+b\right)}{a+c}\)

\(=\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{a+c}{b}+\frac{4a}{a+c}+\frac{4b}{a+c}\)

\(=\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{c+a}{a}+\frac{4a}{a+c}\right)+\left(\frac{a+c}{b}+\frac{4b}{a+c}\right)-1\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(M\ge2.\sqrt{\frac{b}{a}.\frac{a}{b}}+2.\sqrt{\frac{c+a}{a}.\frac{4a}{a+c}}+2.\sqrt{\frac{a+c}{b}.\frac{4b}{a+c}}-1=2+4+4-1=9\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c ( tự giải cụ thể nhé ).

Bài này hình như thừa điều kiện abc=1.

Nếu có chỗ nào sai sót xin chỉ giáo.