Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Làm biếng quá

Cho \(a;b;c>0\) thỏa mãn \(abc=1\) . CMR: 

\(\frac{1}{ab+a+2}+\frac{1}{bc+b+2}+\frac{1}{ca+c+2}\le\frac{3}{4}\)

Dương Lam Hàng
9 tháng 1 2019 lúc 15:34

Ta có: \(\frac{1}{ab+a+2}=\frac{1}{\left(ab+1\right)+\left(a+1\right)}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu

Ta có: \(\frac{1}{\left(ab+1\right)+\left(a+1\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{ab+1}+\frac{1}{a+1}\right)\)

                                                   \(=\frac{1}{4}\left(\frac{abc}{ab+abc}+\frac{1}{a+1}\right)=\frac{1}{4}\left[\frac{abc}{ab\left(1+c\right)}+\frac{1}{a+1}\right]=\frac{1}{4}\left(\frac{c}{1+c}+\frac{1}{a+1}\right)\) (1)

CMT2 được: \(\frac{1}{bc+b+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right)\) (2)

                    \(\frac{1}{ca+c+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{b}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)\) (3)

Cộng (1);(2) và (3) vế theo vế

Ta được: \(\frac{1}{ab+a+2}+\frac{1}{bc+b+2}+\frac{1}{ca+c+2}\le\frac{1}{4}\left[\left(\frac{c}{c+1}+\frac{1}{c+1}\right)+\left(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{a+1}\right)+\left(\frac{b}{b+1}+\frac{1}{b+1}\right)\right]\)

\(=\frac{1}{4}.\left(1+1+1\right)=\frac{3}{4}\)

=> đpcm

Dương Lam Hàng
9 tháng 1 2019 lúc 15:44

Bổ sung:

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c = 1

Làm biếng quá
9 tháng 1 2019 lúc 19:59

cậu giải thích rõ hơn chỗ ta có thứ hai được không? mk chưa hiểu lắm

Dương Lam Hàng
9 tháng 1 2019 lúc 20:03

ok bạn

\(\frac{1}{ab+a+2}=\frac{1}{ab+a+1+1}=\frac{1}{\left(ab+1\right)+\left(a+1\right)}\)

                                                          \(=\frac{1}{4}.\frac{4}{\left(ab+1\right)+\left(a+1\right)}\le\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{ab+1}+\frac{1}{a+1}\right)\)

Áp dụng BĐT \(\frac{4}{a+b}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)

Sau đó ta thế abc = 1 vào được:

\(\le\frac{1}{4}.\left(\frac{abc}{ab+1}+\frac{1}{a+1}\right)\)

rồi bạn đọc bài mình giải lúc nãy rồi đó, chỗ đó mình làm ra rõ rồi

Làm biếng quá
9 tháng 1 2019 lúc 20:05

cảm ơn


Các câu hỏi tương tự
hung
Xem chi tiết
luu thanh huyen
Xem chi tiết
hanvu
Xem chi tiết
Kiệt Nguyễn
Xem chi tiết
Lê Văn Hoàng
Xem chi tiết
Le Dinh Quan
Xem chi tiết
ivyuyen
Xem chi tiết
Nguyễn Hoài Phương
Xem chi tiết
Đỗ UYển dương
Xem chi tiết