Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Admin (a@olm.vn)

Cho \(a,b,c>0\). Chứng minh rằng    \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\) .

Lê Hiền Trang
22 tháng 3 2021 lúc 16:33

Sử dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta được

    a+b\ge2\sqrt{ab}a+b≥2ab    ;    b+c\ge2\sqrt{bc}b+c≥2bc   ;   c+a\ge2\sqrt{ca}c+a≥2ca

Nhân theo vế ba bất đẳng thức này ta được đpcm.

Khách vãng lai đã xóa
Nguyễn Thị Phương Linh
5 tháng 7 2021 lúc 19:19

Theo bất đẳng thức Cô si ta có : a+b ≥ \(2\sqrt{ab}\) 

b+c ≥ \(2\sqrt{bc}\) , c+a ≥ \(2\sqrt{ac}\)

Nhân từng vế của 3 bất đẳng thức cho nhau ta được 

(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8\(\sqrt{(a)^{2}(b)^{2}(c)^{2}}\)

=> (a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc

Khách vãng lai đã xóa
Đỗ Đức Cao Thiêm
7 tháng 7 2021 lúc 19:27

theo  bất đẳng thứ cô si ta có a+b >2\(\sqrt{ab}\), b+c > 2\(\sqrt{bc}\), c+a>2\(\sqrt{bc}\)

nhân tất cả ta được (a+b)(b+c)(c+a)> 8 \(\sqrt{a^2b^2c^2}\)

suy ra (a+b)(b+c)(c+a)>8abc

 

Khách vãng lai đã xóa
Phạm Bá Huy
9 tháng 7 2021 lúc 22:45

Sử dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta được

    a+b2ab    ;    b+c2bc   ;   c+a2ca

Nhân theo vế ba bất đẳng thức này ta được đpcm.

Khách vãng lai đã xóa
Hương	Hà Huỳnh
29 tháng 8 2021 lúc 10:49
Khách vãng lai đã xóa
Minh	Lê Bảo
29 tháng 8 2021 lúc 10:59

Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:

- a + ≥ 2\(\sqrt{ab}\)

c + a ≥ 2\(\sqrt{ca}\)

b + c ≥ 2\(\sqrt{bc}\)

=> (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8\(\sqrt{ab.bc.ac}\) = 8\(\sqrt{a^2b^2c^2}\)

Suy ra: (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc

 

 

Khách vãng lai đã xóa
Châu	Lê Thụy Bảo
29 tháng 8 2021 lúc 12:37

áp dụng bdt cô - si với 2 số dương Ta có a+b ≥2\(\sqrt{ab}\) 

b+c ≥ 2\(\sqrt{bc}\)

c+a ≥2\(\sqrt{ca}\)

\(\Rightarrow\) (a+b) (b+c ) ( c+a ) ≥ 8abc

Khách vãng lai đã xóa
Bắc	Trần Lê Tây
29 tháng 8 2021 lúc 12:45

Có a+b ≥ 2√a+b

     b+c ≥ 2√b+c

     c+a ≥ 2√c+a

    => (a+b)(b+c)(c+a) (2√a+b)(2√b+c)(2√c+a)

                                   8√a2.b2.c2

                                  ≥ 8abc

Khách vãng lai đã xóa
Thành	Trương Lợi
29 tháng 8 2021 lúc 16:13

Theo bất đẳng thức Côsi ta có: 

A + B ≥ 2\(\sqrt{AB}\)

B + C ≥ 2\(\sqrt{BC}\)

C + A ≥ 2\(\sqrt{AC}\)

<=> (A + B)(B + C)(C + A) ≥  2\(\sqrt{AB}\) . 2\(\sqrt{BC}\) . 2\(\sqrt{CA}\)             
<=> (A + B)(B + C)(C + A) ≥   8ABC.

 

Khách vãng lai đã xóa
Vy	Nguyễn Ngọc Yến
29 tháng 8 2021 lúc 21:07
Theo bất đẳng thức cosi ta có: A + B ≥ 2√AB C + A ≥ 2√CA B + C ≥ 2√BC => (A + B)(B + C)(C + A) ≥ 8 √AB.BC.AC = 8√A2B2C2 Suy ra: (A + B)(B + C)(C + A) ≥ 8ABC (đpcm)
Khách vãng lai đã xóa
Nguyễn Phương Thảo
3 tháng 9 2021 lúc 11:44

undefined

Khách vãng lai đã xóa
Vũ Việt Anh
21 tháng 9 2021 lúc 22:11

Ta có a+b≥\(2\sqrt{ab}\)

          \(b+c\ge2\sqrt{bc}\)

          a+c≥2\(\sqrt{ac}\)

\((a+b)(a+c)(b+c)\ge2\sqrt{ab}\times2\sqrt{ac}\times2\sqrt{bc}\)=\(8abc\)(điều phải chứng minh)

 

Khách vãng lai đã xóa
Lê Song Phương
21 tháng 10 2021 lúc 18:46

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương a và b, ta có: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

Tương tự, ta có: \(b+c\ge2\sqrt{bc}\) và \(c+a\ge2\sqrt{ca}\)

Nhân vế theo vế của các BĐT trên, ta được \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8\sqrt{abbcca}=8\sqrt{a^2b^2c^2}=8abc\)

Vậy với a, b, c > 0 thì 

 .

                   
Khách vãng lai đã xóa
Nguyễn Tùng Lâm
6 tháng 11 2021 lúc 6:46

loading...  

Khách vãng lai đã xóa
Vũ Đức Anh
6 tháng 11 2021 lúc 10:17

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 số dương là a,b,c; có:

a+b ≥ 2 căn ab            b+c ≥ 2 căn bc              c+a ≥ 2 căn ca

khi đó: (a+b)(b+c)(c+a) ≥ (2 căn ab)(2 căn bc)(2 căn ca)

⇔(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc(đpcm)

Khách vãng lai đã xóa
Nguyễn Anh Tú
6 tháng 11 2021 lúc 10:25

loading...  

Khách vãng lai đã xóa
Lê Tuấn Đạt
6 tháng 11 2021 lúc 18:04

loading...  

Khách vãng lai đã xóa
Trần Thu Huyền
2 tháng 1 2022 lúc 11:17

vì a,b,c là các số dương theo đề bài

nên áp dụng bđt cô si ta có 

a+b >= 2\(\sqrt{ab}\)

b+c >= 2\(\sqrt{bc}\)

c+a >= 2\(\sqrt{ac}\)

nhân từng vế ta được ;

(a+b)(b+c)(c+a) >= 8abc (đpcm)

Khách vãng lai đã xóa
Đào Thị Mộng	Huyền
9 tháng 5 2022 lúc 20:08

 

Sử dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta được

    a+b≥2√aba+b≥2ab    ;    b+c≥2√bcb+c≥2bc   ;   c+a≥2√cac+a≥2ca

Nhân theo vế ba bất đẳng thức này ta được đpcm

Sử dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta được

    a+b≥2√aba+b≥2ab    ;    b+c≥2√bcb+c≥2bc   ;   c+a≥2√cac+a≥2ca

Nhân theo vế ba bất đẳng thức này ta được đpcm

Sử dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta được

    a+b≥2√aba+b≥2ab    ;    b+c≥2√bcb+c≥2bc   ;   c+a≥2√cac+a≥2ca

Nhân theo vế ba bất đẳng thức này ta được đpcm

Sử dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta được

    a+b≥2√aba+b≥2ab    ;    b+c≥2√bcb+c≥2bc   ;   c+a≥2√cac+a≥2ca

Nhân theo vế ba bất đẳng thức này ta được đpcm

Sử dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta được

    a+b≥2√aba+b≥2ab    ;    b+c≥2√bcb+c≥2bc   ;   c+a≥2√cac+a≥2ca

Nhân theo vế ba bất đẳng thức này ta được đpcm

Sử dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta được

    a+b≥2√aba+b≥2ab    ;    b+c≥2√bcb+c≥2bc   ;   c+a≥2√cac+a≥2ca

Nhân theo vế ba bất đẳng thức này ta được đpcm

Hiền
12 tháng 6 2022 lúc 20:52

Chịu

Bùi Đại Nguyên
29 tháng 12 2022 lúc 21:08

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

a+b≥2\(\sqrt{ab}\); b+c≥2\(\sqrt{bc}\); c+a≥2\(\sqrt{ca}\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\cdot2\cdot2\cdot\sqrt{ab}\cdot\sqrt{bc}\cdot\sqrt{ca}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\) (điều cần chứng minh)

            Vậy \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)

 

Nguyễn Đình Quân
19 tháng 2 2023 lúc 14:24

Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b\ge2\sqrt{ab}\\b+c\ge2\sqrt{bc}\\c+a\ge2\sqrt{ca}\end{matrix}\right.\)

Nhân vế với vế, ta sẽ có:

\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)

Nguyễn Thị Nga
21 tháng 5 2023 lúc 20:39

h

Hoàng Duy Cường
5 tháng 1 lúc 19:21

với a , b , c > 0 . Áp dụng bất đẳng thức Cô - si , ta được : 

 a + b 

Nguyễn Đình Ánh
31 tháng 1 lúc 15:10

⇔Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số a, b (a, b > 0)  ,ta có:

a + b ≥ 2\(\sqrt{ab}\)

Tương tự: b + c ≥ 2\(\sqrt{bc}\)

                  c + a ≥ 2\(\sqrt{ca}\)

⇒ (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 2\(\sqrt{ab}\) . 2\(\sqrt{bc}\) . 2\(\sqrt{ca}\)

⇔(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc

Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = c


Các câu hỏi tương tự
Admin (a@olm.vn)
Xem chi tiết
Admin (a@olm.vn)
Xem chi tiết
Admin (a@olm.vn)
Xem chi tiết
Admin (a@olm.vn)
Xem chi tiết
Admin (a@olm.vn)
Xem chi tiết
Admin (a@olm.vn)
Xem chi tiết
Admin (a@olm.vn)
Xem chi tiết
Admin (a@olm.vn)
Xem chi tiết