Sử dụng Cô si cho 2 số dương ta được
\dfrac{a^3b}{c}+\dfrac{a^3c}{b}=a^3\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)\ge2a^3ca3b+ba3c=a3(cb+bc)≥2a3
Làm tương tự với hai cặp số hạng còn lại và cộng các bất đẳng thức nhận được ta có
\dfrac{a^3b}{c}+\dfrac{a^3c}{b}+\dfrac{b^3c}{a}+\dfrac{b^3a}{c}+\dfrac{c^3b}{a}+\dfrac{c^3a}{b}\ge2\left(a^3+b^3+c^3\right)ca3b+ba3c+ab3c+cb3a+ac3b+bc3a≥2(a3+b3+c3) (1)
Lại theo bất đẳng thức Cô si ta được
a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abca3+b3+c3≥33a3b3c3=3abc (2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
Theo bất đẳng thức cô si ta có
\(\dfrac{a^3b}{c}\) + \(\dfrac{a^3c}{b}\) = a^3(b/c+c/b) ≥ 2a^3
Tương tự với 1 cặp số hạng còn lại và cộng các bất đẳng thức nhận được ta có
a^3b/c+ a^3c/b + b^3c/a+b^3a/c + c^3b/a+ c^3a/b ≥ 2(a^3+b^3+c^3) (1)
Theo bất đẳng thức cô si ta được
a^3 + b^3 +c^3 ≥ 3\(\sqrt{a^3b^3c^3}=3abc (2) \)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
Sử dụng Cô si cho 2 số dương ta được
Làm tương tự với hai cặp số hạng còn lại và cộng các bất đẳng thức nhận được ta có
(1)
Lại theo bất đẳng thức Cô si ta được
(2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
bđt côsi
\(\dfrac{a^3b}{c}+\dfrac{b^3c}{a}+\dfrac{c^3a}{b}>=3abc\)
\(\dfrac{a^3c}{b}+\dfrac{b^3a}{c}+\dfrac{c^3b}{a}>=3abc\)
cộng 2 vế sẽ ra đpcm