Ta có : a^4 +b^4 +c^4 ≥ a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 (*)
Mà a^2b^2+b^2c^2 ≥ 2acb^2
b^2c^2 + c^2a^2 ≥ 2bac^2
c^2a^2+a^2b^2 ≥ bca^2
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên rồi chia hai vế cho 2 ta được
a^2b^2+b^2c^2+ c^2a^2 ≥ abc(a+b+c) (**)
Từ (*)(**) => đpcm
Sử dụng bất đẳng thức Cô si ta có
Từ đó .
Cho \(a,b,c>0\). Chứng minh rằng \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\) .
Cho \(a,b,c>0\). Chứng minh rằng
\(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\ge a+b+c\).
Cho \(a,b,c>0\). Chứng minh rằng
\(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ca}+\dfrac{c}{ab}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\).
Cho \(a,b,c>0\) . Chứng minh rằng
\(3a+2b+4c\ge\sqrt{ab}+3\sqrt{bc}+5\sqrt{ca}\).
Cho \(a,b.c>0\). Chứng minh rằng
\(\dfrac{a^3b}{c}+\dfrac{a^3c}{b}+\dfrac{b^3c}{a}+\dfrac{b^3a}{c}+\dfrac{c^3b}{a}+\dfrac{c^3a}{b}\ge6abc\).
Cho \(x,y,z\) là ba số dương. Chứng minh rằng
\(\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge9xyz\).
Cho \(x,y\) là hai số dương. Chứng minh rằng
\(\left(x+y\right)\left(xy+1\right)\ge4xy\).
Khi nào xảy ra đẳng thức?
Cho \(x,y,z\) là ba số dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng
\(\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)\ge8\).
Dấu bằng xảy ra khi nào?
