Question

 

cho a,b,c>0 chứng minh M=a/a+b+b/b+c+c/c+a ko phải là số nguyên 

 

Answer 1

Ta có : \(M=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)

Vì vai trò của a,b,c là như nhau nên ta giả sử \(0< a< b< c\)

Khi đó : \(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\); \(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\); \(\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow M=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)(1)

Lại có : \(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\); \(\frac{b}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c}\) ;  \(\frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)

Cộng các bđt trên theo vế : \(M=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{b+c}{a+b+c}+\frac{c+a}{a+b+c}+\frac{a+b}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow M< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

Suy ra ta có : 1 < M < 2

=> M không thể là số nguyên.

Answer 2

Đề là thế này ak:

Chứng minh \(M=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\) không phải là số nguyên

Answer 3

Vì a,b,c > 0 nên a/a+b > a/a+b+c

                         b/b+c > b/a+b+c

                         c/c+a > c/a+b+c

<=> M > a/a+b+c  +   b/a+b+c  +  c/a+b+c=1 <=> M>1

Mặt khác, ta có: M= a/a+b  +  b/b+c  +  c/a+c

                         M= 1   -   b/a+b  +   1   -   c/b+c  +   1  -   a/a+c

                         M= 3 - (b/a+b  +  c/b+c  +  a/a+c)

    Lại có: b/a+b > b/a+b+c

               c/b+c > c/a+b+c   =>   b/a+b  +  c/b+c  +  a/a+c > 1

               a/c+a > a/a+b+c

=> M < 3 - 1=2

Ta có: M > 1, M<2 nên M ko thể là số tự nhiên

Answer 4

số nguyên chứ nhầm @@