Ta có
\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+a}\ge1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+c}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+a}\ge\frac{1+b-1}{1+b}+\frac{1+c-1}{1+c}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+a}\ge\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\le2\sqrt{\frac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)( nhỏ hơn vậy do bất đẳng thức Cosy với 2 số)
tương tư ta chứng minh được
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+b}\ge2\sqrt{\frac{ac}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}}\\\frac{1}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}\end{cases}}\)
Nhân vế theo vế của 3 bất đẳng thức vừa chứng mình được
\(\frac{1}{1+a}.\frac{1}{1+b}.\frac{1}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}.2\sqrt{\frac{ac}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}}.2\sqrt{\frac{ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge8\sqrt{\frac{a^2b^2c^2}{\left(1+a\right)^2\left(1+b\right)^2\left(1+c\right)^2}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge8abc.\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}:\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge8abc\)
\(\Rightarrow\frac{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge8abc\)
\(\Rightarrow1\ge8abc\Rightarrow\frac{1}{8}\ge abc\)
Ủng hộ cho mình 1 cái T I C K nha . Cảm ơn bạn rất nhiều
____________________________CHÚC BẠN HỌC TỐT NHA ________________________________
Dấu "=" nữa Tùng ơi!
Cơ mà Linh k rùi, vất vả quá! :D
à quên nữa . Cảm ơn Linh mai sáng bổ sung luôn giờ mệt quá !!!
Bổ sung nha :D
Dấu bằng xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{b}{1+b}=\frac{c}{1+c}\\\frac{c}{1+c}=\frac{a}{1+a}\\\frac{a}{1+a}=\frac{b}{1+b}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b\left(1+c\right)=c\left(1+b\right)\\c\left(1+a\right)=a\left(1+c\right)\\a\left(1+b\right)=b\left(1+a\right)\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}b+cb=c+cb\\c+ac=a+ac\\a+ab=b+ab\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}b=c\\c=a\\a=b\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c}\)
SORRY bạn Linh nhắc mình mới nhớ ! Mình bổ sung rồi thông cảm nha . Nhìu cái quá quên cái phần quan trọng này . Cảm ơn bạn Linh rất nhiều
