Question

Cho △ABC vuông tại A, AH ⊥ BC tại H; AB=8cm; AC=15cm.
a) Tính BH, AH.

b) Từ H kẻ HE ⊥ AB tại E, HF ⊥ AC tại F. Tính EF.

c) Chứng minh AE * AB = AF * AC 

d) Qua A kẻ đường vuông góc với EF tại I ,cắt BC tại M. Chứng minh M là trung điểm của BC.

e) Biết diện tích △ABC gấp đôi diện tích tứ giác AEHF. Chứng minh △ABC vuông cân.

Answer 1

c) \(\widehat{AEF}=\widehat{EAH}=90^0-\widehat{ABH}=\widehat{ACB}\)

\(\Rightarrow\)△AFE∼△ABC (g-g)

\(\Rightarrow\dfrac{AF}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\Rightarrow AB.AE=AC.AF\).

d) \(\widehat{CAM}=90^0-\widehat{AFE}=90^0-\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

\(\Rightarrow\)△ACM cân tại M \(\Rightarrow MA=MC\left(1\right)\)

\(\widehat{BAM}=90^0-\widehat{AEF}=90^0-\widehat{ACB}=\widehat{ABC}\)

\(\Rightarrow\)△ABM cân tại M \(\Rightarrow MA=MB\left(2\right)\)

-Từ (1) và (2) suy ra: \(MB=MC\) nên M là trung điểm BC.

e) \(\dfrac{S_{AFE}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{EF}{BC}\right)^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{\dfrac{1}{2}S_{AEHF}}{2S_{AEHF}}=\left(\dfrac{EF}{BC}\right)^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{4}=\left(\dfrac{EF}{BC}\right)^2\Rightarrow\dfrac{EF}{BC}=\dfrac{AH}{BC}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow H\equiv M\)

\(\Rightarrow\)△ABC vuông cân tại A.