Question

Cho a,b,c thuộc Q khác nhau đoi một và khác nhau 0 thỏa a/b+c=b/a+c=c/a+b

Chứng minh (b+c)/a+(a+c)/b+(a+b)/c không thuộc giá trị của a,b,c

Answer 1

bài này có 2 TH:ta có a,b,c khác nhau từng đôi 1 và khác 0 =>a khác b khác c khác 0 (1)

ta có (a/b+c)+1=(b/c+a)+1=(c/a+b)+1

ta được a+b+c/b+c=a+b+c/a+c=a+b+c/a+b

TH1:a+b+c=0

=>a+b=-c;a+c=-b;b+c=-a

thay biểu thức trên vào P(chỗ cần chứng minh) ta đc : -a/a+-b/b+-c/c=-1+-1+-1=-3 (2)

TH2:a+b+c khác 0 =>a+c=a+b=b+c=>a=b=c [(L) trái với (1)] (3)

từ (2) và (3) =>P ko phụ thuộc vào giá trị của a,b,c

Answer 2

Vì \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}\)

Suy ra \(\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=\frac{a+b}{c}=\frac{\left(b+c\right)+\left(a+c\right)+\left(a+b\right)}{a+b+c}=2\)

\(\Rightarrow b+c=2a;a+c=2b;a+b=2c\)

Bằng cách rút \(b\) từ đẳng thức thứ nhất thay vào đẳng thức thứ hai ta đễ dàng suy ra được \(a=b=c\)

\(\Rightarrow\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}=2+2+2=6\)