Question

cho a;b;c thỏa mãn: \(a+b+c=\frac{3}{2}\)

chứng minh rằng : \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{3}{4}\)

 

 

Answer 1

Giải:

Ta có: 

\(\left(a^2-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-a+\frac{1}{4}\ge0\Leftrightarrow a^2+\frac{1}{4}\ge a\)

Tương tự ta cũng có: \(b^2+\frac{1}{4}\ge b\)

                                 \(c^2+\frac{1}{4}\ge c\)

Cộng vế với vế các BĐT cùng chiều ta được:

\(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge a+b+c\)

Mà \(a+b+c=\frac{3}{2}\) nên \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{3}{4}\) (Đpcm)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)

Answer 2

du doan a=b=c=1/2

suy ra

a^2+1/4>=2 căn(a^2*1/4)=a

b^2+1/4>=2 căn(b^2*1/4)=b

c^2+1/4>=2 căn(c^2*1/4)=c

suy ra a^2+b^2+c^2 +3/4>=a+b+c=3/2

<=> a^2+b^2+c^2>=3/4 (dpcm)