Ôn tập: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Bùi Đại Hiệp

cho a;b;c lần lượt là các số dương thoả mãn a+b+c=3

CMR:\(\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{2015}{ab+bc+ca}\ge672\)

Akai Haruma
21 tháng 2 2019 lúc 1:05

Lời giải:

Áp dụng BĐT SVacxo ta có:

\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{ab+bc+ac}\geq \frac{9}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac+ab+bc+ac}=\frac{9}{(a+b+c)^2}=1(*)\)

Áp dụng BĐT Cauchy:

\(a^2+b^2\geq 2ab; b^2+c^2\geq 2bc; a^2+c^2\geq 2ac\)

\(\Rightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+bc+ac)\) (cộng 3 BĐT trên theo vế)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\)

\(\Rightarrow (a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\Rightarrow ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3\)

\(\Rightarrow \frac{2013}{ab+bc+ac}\geq \frac{2013}{3}=671(**)\)

Từ \((*); (**)\Rightarrow \frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2015}{ab+bc+ac}\geq 1+671=672\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$


Các câu hỏi tương tự
Phạm Phương Anh
Xem chi tiết
Đỗ Hương Giang
Xem chi tiết
Phượng Hoàng
Xem chi tiết
Nguyễn Bùi Đại Hiệp
Xem chi tiết
Trần Thị Tuyết Nga
Xem chi tiết
Trương Tuấn Nghĩa
Xem chi tiết
Nghịch Dư Thủy
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Bình Yên
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Bình Yên
Xem chi tiết