Chứng minh rằng với mọi a,b,c≥0,ta có:
2(a2+b2+c2)+abc+8≥5(a+b+c)
Lời giải:
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM,ta có:
12(a2+b2+c2)+6abc+48−30(a+b+c)
=12(a2+b2+c2)+3(2abc+1)+45−5.2.3(a+b+c)
≥12(a2+b2+c2)+93√a2b2c2+45−5.((a+b+c)2+9)
\displaystyle{=7(a^2+b^2+c^2)+\dfrac{9abc}{\sqrt[3]{abc}-10(ab+bc+ca)}
≥7(a2+b2+c2)+27a+b+c−10(ab+bc+ca)
Mặt khác sử dụng bất đẳng thức Schur,
9a+b+c≥4(ab+bc+ca)−(a+b+c)2=2(ab+bc+ca)−(a2+b2+c2)
Do đó
7(a2+b2+c2)+27a+b+c−10(ab+bc+ca)
≥7(a2+b2+c2)+6(ab+bc+ca)−3(a2+b2+c2)−10(ab+bc+ca)=4(a2+b2+c2−ab−bc−ca)≥0
Bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 4:Arqady
Cho a,b,c là các số không âm,trong đó không có 2 số nào đồng thời bằng 0.Chứng minh rằng:
ab3+c3+ba3+c3+ca3+b3≥185(a2+b2+c2)−ab−ac−bc
Lời giải:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
∑a(a+b+c)b3+c3≥18(a+b+c)5(a2+b2+c2)−ab−bc−ca
⇔∑a2b3+c3+ab2+c2−bc≥18(a+b+c)5(a2+b2+c2)−ab−bc−ca
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz,ta có:
i)∑a2b3+c3≥(a2+b2+c2)2∑a2(b3+c3)
ii)∑ab2+c2−bc≥(a+b+c)2∑a(b2+c2−bc)
Áp dụng 2 bất đẳng thức trên,ta có:
(a2+b2+c2)2∑a2(b3+c3)+(a+b+c)2∑a(b2+c2−bc)≥18(a+b+c)5(a2+b2+c2)−ab−bc−ca
Giả sử a+b+c=1 và đặt \displaystyle{ab + bc + ca = q,abc = r \Rightarrow r \ge \max \left{ 0,\dfrac {(4q - 1)(1 - q)}{6}\right }}.
Ta cần chứng minh
(1−2q)2q2−(q+2)r+1q−6r≥185−11q
Bất đẳng thức cuối dễ dàng chứng minh bằng cách xét 2 trường hợp:1≥4q và 4q≥1
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c và a=b,c=0.
