Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức :
\(\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c-a+c+a-b+a+b-c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\ge a+b+c\left(đpcm\right)\)
Bất đẳng thức được chứng minh
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki dạng cộng mẫu:
\(\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c-a+c+a-b+a+b-c}\)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)
Do \(a,b,c\) là độ dài ba cạnh tam giác , \(a,b,c>0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}b+c-a>0\\c+a-b>0\\a+b-c>0\end{cases}}\)
Áp dụng BĐT AM - GM cho hai số dương ta có :
\(\frac{a^2}{b+c-a}+b+c-a\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b+c-a}.\left(b+c-a\right)}=2a\)
\(\frac{b^2}{c+a-b}+c+a-b\ge2\sqrt{\frac{b^2}{c+a-b}.\left(c+a-b\right)}=2b\)
\(\frac{c^2}{a+b-c}+a+b-c\ge2\sqrt{\frac{a^2}{a+b-c}.\left(a+b-c\right)}=2c\)
Cộng vế với vế của các BĐT cùng chiều ở trên ta có :
\(\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}+a+b+c\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\ge a+b+c\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\).
Vậy BĐT được chứng minh !
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki dạng phân thức ta có
\(\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\)
Đẳng thức xảy ra <=> \(a=b=c\)
