Cần chứng minh
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Ta có :
p-a = \(\frac{a+b+c}{2}-a=\frac{b+c-a}{2}\)
p-b=\(\frac{a+c-b}{2}\)
p-c =\(\frac{a+b-c}{2}\)
=> VT = 2 \(\left(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{a+b-c}\right)\)
Xét BDT : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\left(luon-dung\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=1
Khi đó
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\). Dấu "=".........
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{c}\). Dấu "="........
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{a}\). Dấu "="........
Cộng vế với Vế , ta suy ra :
2\(\left(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{a+b-c}\right)\) \(\ge\)2\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Em thử dùng phép thế Ravi ạ, cách thì em biết rồi,muốn thử test cách này:
Đặt a =x + y; b =y + z; c = z + x (để không cần quan tâm để BĐT tam giác nữa)
Khi đó \(p=x+y+z;p-a=z;p-b=x;p-c=y\)
Ta cần chứng minh \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{x+y}+\frac{2}{y+z}+\frac{2}{z+x}\)
Ta có \(2VT=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)\)
\(\ge\frac{4}{x+y}+\frac{4}{y+z}+\frac{4}{z+x}=2VP\Rightarrow VT\ge VP^{\left(đpcm\right)}\)
