Đoàn Văn Toàn

cho a,b,c là đọ dài 3 cạnh tam giác .CMR : a, a^3+b^3+c^3+2abc < a^2.(b+c)+b^2.(c+a)+c^2.(a+b)

b, 4a^2b^2 > (a^2+b^2-c^2)^2

Trần Thị Hồng
25 tháng 8 2018 lúc 20:54

a) Biến đổi biểu thức ban đầu tương đương: 

4abc > a[ a² - (b-c)²] +b[b² - (a-c)²] +c[c² - (a-b)²] 

<=> 4abc > a(a+b-c)(a+c-b) + b(b+c-a)(b+a-c) + c(c+b-a)(c+a-b) 

Đến đây thì đặt ẩn phụ kiểu quen thuộc rồi ;) 

Đặt a+b-c = x ; b+c-a =y ; c+a-b =z (x,y,z > 0 ) Thì a= (x +z)/2 ; b= (x+y/2) ; c= (y+z)/2 

Biểu thức trở thành: 

(x+y)(y+z)(z+x) > (x+z)xz + (x+y)xy + (y+z)yz 

Đơn giản rồi ; biểu thức này tương đương 2xyz > 0 (đúng với a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác ;) 

*Mở rộng thêm: Còn chứng minh được a^3 +b^3 +c^3 +3abc >= a²(b+c) +b²(a+c) +c²(b+a) > a^3 +b^3 +c^3 +2abc với a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác ;)


Các câu hỏi tương tự
UTV Kool
Xem chi tiết
Trần Trung Hiêu
Xem chi tiết
Hoàng Phúc
Xem chi tiết
toi la toi toi la toi
Xem chi tiết
Hà Khánh Ngân
Xem chi tiết
Minh Hiếu
Xem chi tiết
Nguyễn Quỳnh Chi
Xem chi tiết
Không Cần Biết
Xem chi tiết
Trịnh Xuân Diện
Xem chi tiết