Question

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác .Chứng minh 

1/(a+b-c)+1/(b+c-a)+1/(a+c-b)>= 1/a+1/b+1/c

Answer 1

Xin lỗi nhé, nãy đang vội thấy 3 p/s nghĩ luôn ra mà ko kịp soát

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) ta có: 

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)

\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{b+c-a+a+c-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{a+b-c+a+c-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)

Cộng theo vế 3 BĐT ta có: 

\(2VT\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=2VP\Rightarrow VT\ge VP\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

Answer 2

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) ta có: 

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}\)

\(\ge\frac{9}{a+b-c+b+c-a+a+c-b}=\frac{9}{a+b+c}\left(1\right)\)

Lại có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta  có ĐPCM

Answer 3

Bạn ơi cho mình hỏi này, từ (1), (2), suy ra được \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)  và \(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{9}{a+b+c}\) chứ chưa chứng minh được \(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

Coi lại hộ mình nhé

Answer 4

Ta chứng minh bất đẳng thức sau:

1/x+1/y>=4/x+y với x,y >0

<=>y/xy+x/xy>=4/x+y với x,y >0

<=>x+y/xy>=4/x+y với x,y >0

<=>(x+y)²>=4xy với x,y >0

<=>x²+2xy+y²-4xy>=0 với x,y >0(sử dụng hằng đẳng thức bình phương của 1 tổng đồng thời chuyển vế)

<=>x²-2xy+y²>=0

<=> (x-y)²>=0 (luôn đúng với x,y >0)

Dấu "=" xảy ra <=> x-y=0<=> x=y

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác đã cho, ta có:

a+b>c => a+b-c>0

b+c>a => b+c-a>0

c+a>b => c+a-b>0

Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có: 

1/a+b-c+1/b+c-a>= 4/a+b-c+b+c-a=4/2b=2/b    (1)

 Với a+b-c>0;b+c-a>0

   Dấu "=" xảy ra <=> a+b-c=b+c-a<=> a+a=c+c

                                                       <=>  2a=2c

                                                        <=>  a=c

1/b+c-a+1/c+a-b>=4/b+c-a+c+a-b=4/2c=2/c   (2)

Với b+c-a>0; c+a-b>0

Dấu "=" xảy ra <=> b+c-a=c+a-b<=> b+b=a+a

                                                    <=>  2b=2a

                                                    <=>  b=a

1/c+a-b+1/a+b-c>=4/c+a-b+a+b-c=4/2a=2/a   (3)

Với c+b-a>0; a+b-c>0

Dấu "=" xảy ra <=> c+a-b=a+b-c<=> c+c=b+b

                                                    <=>  2c=2b

                                                    <=>   c=b

Từ (1);(2) và (3) =>2(1/a+b-c+1/b+c-a+1/c+a-b) >= 2/a+2/b+2/c

                          => 1/a+b-c+1/b+c-a+1/c+a-b>= 1/a+1/b+1/c

Dấu "=" xảy ra <=> a+b+c

 Vậy 1/a+b-c+1/b+c-a+1/c+a-b>= 1/a+1/b+1/c với a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Dấu “=” xảy ra <=> a=b=c (đpcm)

Answer 5

Ngu oc cho heo 👎👎👎

Answer 6

bạn ơi hai cái cùng \(\ge\)sao có thể kết luận một cái lớn hơn cái kia chứ