Question

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 2

CM:\(a^2+b^2+c^2+abc< 2\)

 

Answer 1

Đề đúng : \(a^2+b^2+c^2+2abc< 2\)

Ta có : \(a+b+c=2\)

Áp dụng BĐT tam giác, ta có \(a+b>c\Leftrightarrow2>2c\Leftrightarrow c< 1\)

Tương tự : \(b< 1,a< 1\)

Suy ra \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)>0\)

\(\Leftrightarrow\left(1-a-b+ab\right)\left(1-c\right)>0\)

\(\Leftrightarrow1-a-b+ab-c+ac+bc-abc>0\)

\(\Leftrightarrow a+b+c-\left(ab+bc+ac\right)+abc< 1\)

\(\Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)-2\left(ab+bc+ac\right)+2abc< 2\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ac\right)+2abc< 2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< 2\) (đpcm)