Question

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác . CM : \(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\le\frac{a+b+c}{2abc}\)

Answer 1

  Áp dụng BĐT côsi ta có: 

a² + bc ≥ 2.a√(bc) 

<=> 1/(a² + bc) ≤ 1/(2a√(bc)) -------------(1) 

tương tự vậy: 

1/(b² + ac) ≤ 1/(2b√(ac)) -------------------(2) 

1/(c² + ab) ≤ 1/(2c√(ab)) -------------------(3) 

lấy (1) + (2) + (3) 

=> 1/(a² + bc) + 1/(b² + ac) + 1/(c² + ab) ≤ 1/(2a√(bc)) + 1/(2b√(ac)) + 1/(2c√(ab)) 

<=>1/(a² + bc) + 1/(b² + ac) + 1/(c² + ab) ≤ √(bc)/2abc + √(ac)/2abc + √(ab)/2abc 

<=>1/(a² + bc) + 1/(b² + ac) + 1/(c² + ab) ≤ [√(bc) + √(ac) + √(ab) ]/2abc (!) 

Ta chứng minh bổ đề: 

√(ab) + √(bc) + √(ac) ≤ a + b + c 

thật vậy, áp dụng BĐT côsi ta được: 

a + b ≥ 2√(ab) --- (*) 

a + c ≥ 2√(ac) --- (**) 

b + c ≥ 2√(bc) --- (***) 

lấy (*) + (**) + (***) => 2(a + b + c) ≥ 2.[ √(bc) + √(ac) + √(ab) ] 

<=> √(bc) + √(ac) + √(ab) ≤ a + b + c (@) 

từ (!) và (@) 

=> 1/(a² + bc) + 1/(b² + ac) + 1/(c² + ab) ≤ (a + b + c)/2abc ( Đpcm )

Answer 2

Áp dụng AM - GM:

\(\frac{1}{a^2+bc}\le\frac{1}{2a\sqrt{bc}};\frac{1}{b^2+ac}\le\frac{1}{2b\sqrt{ca}};\frac{1}{c^2+ab}\le\frac{1}{2c\sqrt{ab}}\)

Khi đó:

\(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ab}\le\frac{1}{2a\sqrt{bc}}+\frac{1}{2b\sqrt{ca}}+\frac{1}{2c\sqrt{ab}}\)

\(=\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2abc}\le\frac{a+b+c}{2abc}\)