Question

Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn abc=1 và a+b+c = \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

Chứng minh có ít nhất 1 trong các số a,b,c bằng 1

Answer 1

biến đổi tương đương đưa về (a-1)(b-1)(c-1)=0

Answer 2

Ta có : \(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow a+b+c=\frac{ab+bc+ac}{abc}\)

\(\Leftrightarrow a+b+c=ab+bc+ac\left(abc=1\right)\)

\(\Leftrightarrow1+a+b+c-ab-bc-ac-1=0\)

\(\Leftrightarrow abc+a+b+c-ab-bc-ac-1=0\)

\(\Leftrightarrow ab\left(c-1\right)-a\left(c-1\right)-b\left(c-1\right)+c-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab-a-b+1\right)\left(c-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)a = 1 hoặc b = 1 hoặc c = 1

=> Đpcm