Question

cho a,b,c là các số thực thỏa mãn : a+b+c=1 ; a²+b²+c² =1 và \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\). CMR: x.y+y.z+z.x = 0

Answer 1

(a+b+c)^2=1= a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=1

=> ab+bc+ac=0 (1)

x/a=y/b=z/c =>x=y.a/b , z=y.c/b (2)

Đặt A = x.y+y.z+z. thay x và z của (2) vào ta có

A =(y.a/b).y + y.(y.c/b) +(y.a/b).(y.c/b)

=y^2 (a/b+c/b +ac/b^2)

=y^2(ab+bc+ac)/b^2

Kết hợp (1) ta có A=0 đpcm

Answer 2

Ta có: a + b + c = 1

=>\(\left(a+b+c\right)^2=1\)

=>\(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=1\)

=> ab + bc + ca = 0(Do a^2 + b^2 + c^2 = 1)

Ta có 

\(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{x+y+z}{a+b+c}=x+y+z\)(Do a + b + c = 1)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=a\left(x+y+z\right)\\y=b\left(x+y+z\right)\\z=c\left(x+y+z\right)\end{cases}}\)

Đặt x + y + z = k

=> \(\hept{\begin{cases}x=ak\\y=bk\\z=ck\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}xy=abk^2\\yz=bck^2\\xz=ack^2\end{cases}}\Rightarrow xy+yz+xz=k^2\left(ab+bc+ca\right)\)

mà ab + bc + ca = 0

=>xy + yz + xz = k^2.0 = 0(ĐPCM)