Trời sẽ phù hộ cho bạn giải được bài này. Mình sẽ cầu nguyện giúp bạn :3
đề ? \(\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2\ge\frac{3}{4}\)
ĐÚng rồi phải chốt lại không tý lại chỉnh tẹo lại xửa--> kl lm đưọc rồi
Giả sử đề t sửa đúng. Với mọi số thực a,b và c ta có:
\(0\le\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\)
\(=2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)
\(=3\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a+b+c\right)^2\)
Bây giờ, nếu \(a+b+c=3\),vì vậy \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)-3\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{4}\leΣ\left(a^2-a+\frac{1}{4}\right)=Σ\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\)
Cách khác: \(Σ\left(c-\frac{1}{2}\right)^2\ge\frac{\left(Σ\left|c-\frac{1}{2}\right|\right)^2}{3}\ge\frac{\left(\left|Σ\left(c-\frac{1}{2}\right)\right|\right)^2}{3}=\frac{3}{4}\)
Cách khác: Theo C-S ta có:
\(u+v+w=\left(1,1,1\right)\cdot\left(u,v,w\right)\le\sqrt{3}\sqrt{u^2+v^2+w^2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(u=v=w\ge0\)
Với \(u=a-\frac{1}{2};v=b-\frac{1}{2};w=c-\frac{1}{2}\) và bình phương 2 vế ta được:
\(\frac{9}{4}\le3\left(\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)
