Question

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn\(b^2+c^2\le a^2\).Tìm giá trị nhỏ nhất của biể thức:\(P=\frac{1}{a^2}\left(b^2+c^2\right)+a^2\left(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)

Answer 1

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz và Cauchy ta có:

\(P=\frac{1}{a^2}\left(b^2+c^2\right)+a^2\left(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)

\(\ge\frac{b^2+c^2}{a^2}+a^2\cdot\frac{9}{b^2+c^2}\) (Cauchy - Schwarz)

\(=\left(\frac{b^2+c^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2+c^2}\right)+8\cdot\frac{a^2}{b^2+c^2}\)

\(\ge2\sqrt{\frac{b^2+c^2}{a^2}\cdot\frac{a^2}{b^2+c^2}}+8\cdot\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2}\) (BĐT Cauchy)

\(=2+8=10\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b\sqrt{2}=c\sqrt{2}\)

Vậy Min(P) = 10 khi \(a=b\sqrt{2}=c\sqrt{2}\)