Question

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện : a+b+c=3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của: P=\(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{a^2+b^2}\)

Answer 1

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{a^3}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\frac{b^3}{b^2+c^2}\ge b-\frac{c}{2};\frac{c^3}{a^2+b^2}\ge c-\frac{a}{2}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có: 

\(P\ge\left(a+b+c\right)-\frac{a+b+c}{2}\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)

Khi \(a=b=c=1\)

Answer 2

 ta biến đổi a^2/(a+b^2)=a^3/a(a+b^2) áp dụng bất đẳng thức cosi cho 3 số a^3/a(a+b^2) ,a/2,a+b^2 
ta đc a^3/a(a+b^2)+a/2+(a+b^2)/a>= 3a/2 tương tự b^3/b(b+c^2)+b/2+(b+c^2)/4>=3b/2 
c^3/c(c+a^2)+c/2+(c+a^2)/4>=3c/2 
đặt biểu thức đầu là P Ta có P +(a+b+c)/2+(a+b+c+a^2+b^2+c^2)/4>=3/2(a+... 
mặt khác (a+b+c)^2=<3(a^2+b^2+c^2) => a^2+b^2+c^2>=3 
thay vào =>P>=3/2 DẤU "=" XẢY RA <=> A=B=C=1 
CHÚC BẠN THÀNH CÔNG