Question

Cho a,b,c là các số thực dương thõa mãn 

a+b+c=1

Cm  (a+bc)/(b+c) + (b+ca)/(c+a) + (c+ab)/(a+b) >=2

Answer 1

Đặt \(\hept{\begin{cases}a+b=x\\a+c=y\\b+c=z\end{cases}}\)

Do a+b+c = 1 \(\Leftrightarrow x+y+z=2\)

Ta có :

\(\text{Sima}\frac{a+bc}{b+c}=\text{Sima}\frac{a\left(a+b+c\right)+bc}{b+c}=\text{Sima}\frac{a^2+ab+ac+bc}{b+c}=\text{Sima}\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}\)

\(=\text{Sima}\frac{xy}{z}=\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}\)

Ta có : \(2\text{Sima}\frac{xy}{z}=\left(\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}\right)+\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\right)+\left(\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}\right)\)

\(\ge2x+2y+2z\)

\(\Rightarrow\text{Sima}\frac{xy}{z}\ge x+y+z=2\) hay \(\text{Sima}\frac{a+bc}{b+c}\ge2\)(đpcm)