Question

Cho a;b;c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Tìm GTLN của biểu thức:

\(T=\frac{a}{b^4+c^4+a}+\frac{b}{a^4+c^4+b}+\frac{c}{a^4+b^4+c}\)

Answer 1

Lời giải:
Trước tiên ta đi chứng minh BĐT phụ là:

Với \(a,b>0\) thì \(a^2+b^4\geq ab(a^2+b^2)\)

Cách CM:

BĐT trên tương đương với: \((a-b)^2(a^2+ab+b^2)\geq 0\) (luôn đúng)

Quay trở về bài toán chính: Áp dụng BĐT phụ trên :

\(\Rightarrow \frac{c}{a^4+b^4+c}\leq \frac{c}{ab(a^2+b^2)+c^2ab}=\frac{c}{ab(a^2+b^2+c^2)}=\frac{c^2}{a^2+b^2+c^2}\)

Thực hiện tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:

\(\Rightarrow T\leq \frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}=1\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$