Biến đổi tương đương bất đẳng thức và chú ý đến \(x+y+z=1\)Ta được
\(\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}-\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(x+y+z\right)^2\) ( trừ cả hai vế với (x+y+z)^2 )
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}-\left(x+y+z\right)\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-z\right)^2}{z}+\frac{\left(y-x\right)^2}{x}+\frac{\left(z-y\right)^2}{y}\ge\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(\frac{1}{x}-1\right)+\left(y-z\right)^2\left(\frac{1}{y}-1\right)+\left(z-x\right)^2\left(\frac{1}{z}-1\right)\ge0\)
Vì x + y + z = 1 nên 1/x; 1/y; 1/z > 1. Do đó bđt cuối cùng luôn đúng
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=3\)
Cách trâu bò :
Ta có :
\(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{â^2}\ge3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}\right):\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\ge3\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge3\)
+) \(ab+ac+bc=abc\Leftrightarrow a+b+c=6-\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}6-\left(ab+bc+ca\right)>0\\\left(a+b+c\right)^2=\left[6-\left(ab+bc+ca\right)\right]^2\end{cases}}\)
Còn lại phân tích nốt ra rùi áp dụng bđt cauchy là ra . ( Mình cũng ko chắc biến đổi đoạn đầu đúng chưa , có gì bạn xem lại giùm mình sai bỏ qua )
Từ giả thiết \(ab+bc+ca=abc< =>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)
Đặt \(\left\{\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right\}\rightarrow\left\{x;y;z\right\}\)khi đó bài toán quy về :
Biết \(x+y+z=1\)Chứng minh rằng : \(\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}+\frac{x^2}{z}\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
p/s : bây giờ bài toán đã đơn giản rồi
Trình bày lại quên chưa đặt gì đã làm :))
Ta có : \(ab+bc+ca=abc\rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)
Đặt 1\(\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z\).
Điều phải chứng minh tương đương với :
\(\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}+\frac{x^2}{z}\ge3.\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}+\frac{x^2}{z}-\left(x+y+z\right)^2\ge\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\)
Rồi làm tiếp như dưới :))
Làm lại cách khác hoàn chỉnh và chi tiết
Ta có \(ab+bc+ca=abc\rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)
Đặt \(x=\frac{1}{a};y=\frac{1}{b};z=\frac{1}{c}\)
Lúc này điều phải chứng minh trở thành
\(\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức tuy nhiên ta không thể sử dụng trực tiếp vì bên vế phải có \(x^2+y^2+z^2\)trội hơn \(\left(x+y+z\right)^2\). Do đó ta sẽ biến đổi vế trái sao cho khi rút gọn có thể áp dụng được đại lượng \(x^2+y^2+z^2\). Ta nhận định được
\(\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}=\frac{x^4}{x^2z}+\frac{y^4}{y^2x}+\frac{z^4}{z^2y}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2z+y^2x+z^2y}\)
Phép chứng minh sẽ hoàn tất khi ta chỉ ra được
\(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2z+y^2x+z^2y}\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
Hay \(x^2+y^2+z^2\ge3\left(x^2y+y^2x+z^2y\right)\)
Để đồng bật hóa bất đẳng thức ta chú ý đến \(x+y+z=1\) nên bất đẳng thức trên trở thành
\(\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge3\left(x^2z+y^2x+z^2y\right)\)
Hay \(x^3+y^3+z^3+xz^2+yx^2+zy^2\ge2\left(x^2z+y^2x+z^2y\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được
\(x^3+xz^2\ge2x^2z\)
\(y^3+yx^2\ge2y^2x\)
\(z^3+zy^2\ge2z^2y\)
Cộng ba vế bất đẳng thức trên ta được
\(x^3+y^3+z^3+xz^2+yx^2+zy^2\ge2\left(x^2y+y^2x+z^2y\right)\)
Phép chứng minh hoàn tất. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=3\)
