Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Minh Anh

Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn \(a^2+b^2+c^2=3\) . Chứng minh rằng:

\(\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\ge3\)

Hoàng Lê Bảo Ngọc
18 tháng 10 2016 lúc 20:56

Trước hết bạn chứng minh :  \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\) (Chứng minh bằng biến đổi tương đương)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có : \(\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\ge\frac{9}{6-\left(a+b+c\right)}\ge\frac{9}{6-\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}=\frac{9}{6-3}=3\)

Thắng Nguyễn
18 tháng 10 2016 lúc 20:59

Dễ thấy \(0< a,b,c< 2\)

Ta có:

\(\frac{1}{2-a}\ge\frac{a^2+1}{2}\Leftrightarrow a\left(a-1\right)^2\ge0\)

Tương tự với các cái tương tự, ta được:

\(\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\ge\frac{a^2+1+b^2+1+c^2+1}{2}=3\)(Đpcm)

Dấu = khi a=b=c=1

Thắng Nguyễn
18 tháng 10 2016 lúc 23:01

cách 2:

\(Bdt\Leftrightarrow\frac{a}{2-a}+\frac{b}{2-b}+\frac{c}{2-a}\ge3\)

Áp dụng Bđt Cauchy-schwarz,ta có:

\(\frac{a}{2-a}+\frac{b}{2-b}+\frac{c}{2-c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)-3}\)

Do đó ta cần Cm \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)-3}\ge3\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2+9\ge6\left(a+b+c\right)\)

Đúng theo Bđt cô si (đpcm)

Thắng Nguyễn
18 tháng 10 2016 lúc 23:04

cách 3:

\(Bdt\Leftrightarrow\frac{a}{2-a}+\frac{b}{2-b}+\frac{c}{2-c}\ge3\)

Ta chứng minh \(\frac{9}{2\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a^4+b^4+c^4\right)}\)

Thậy vậy, bất đẳng thức này tương đương

\(a^4+b^4+c^4+3\ge2\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

hay \(\left(a^4+a^2\right)+\left(b^4+b^2\right)+\left(c^4+c^2\right)\ge2\left(a^2+b^3+c^3\right)\)

Đúng theo Bđt co si

Dùng Bđt Cauchyschawarz và đánh giá trên ta có:

\(\frac{a}{2-a}+\frac{b}{2-b}+\frac{c}{2-c}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a^4+b^4+c^4\right)}\ge3\)

Đpcm

Nguyễn thị khánh hòa
16 tháng 2 2017 lúc 21:22

Cuộc đấu giữa các cộng tác viên với nhau

Người Bí Ẳn
24 tháng 5 2019 lúc 7:00

bạn Hoàng Lê Bảo Ngọc làm sai rồi

Người Bí Ẳn
24 tháng 5 2019 lúc 7:05

Cách 2 của bạn Thắng Nguyễn đoạn cuối nhầm chút 

Bạn cần CM \(a+b+c>\frac{3}{2}\)rồi mới được nhân chéo


Các câu hỏi tương tự
Tiến Nguyễn Minh
Xem chi tiết
๖ۣۜLuyri Vũ๖ۣۜ
Xem chi tiết
Trương Đức Huy
Xem chi tiết
Nguyễn thị Ngọc Ánh
Xem chi tiết
Băng Dii~
Xem chi tiết
Đinh Đức Hùng
Xem chi tiết
Vuong Ngoc Nguyen Ha (Ga...
Xem chi tiết
Vuong Ngoc Nguyen Ha (Ga...
Xem chi tiết
l҉o҉n҉g҉ d҉z҉
Xem chi tiết