Trước hết bạn chứng minh : \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\) (Chứng minh bằng biến đổi tương đương)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có : \(\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\ge\frac{9}{6-\left(a+b+c\right)}\ge\frac{9}{6-\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}=\frac{9}{6-3}=3\)
Dễ thấy \(0< a,b,c< 2\)
Ta có:
\(\frac{1}{2-a}\ge\frac{a^2+1}{2}\Leftrightarrow a\left(a-1\right)^2\ge0\)
Tương tự với các cái tương tự, ta được:
\(\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\ge\frac{a^2+1+b^2+1+c^2+1}{2}=3\)(Đpcm)
Dấu = khi a=b=c=1
cách 2:
\(Bdt\Leftrightarrow\frac{a}{2-a}+\frac{b}{2-b}+\frac{c}{2-a}\ge3\)
Áp dụng Bđt Cauchy-schwarz,ta có:
\(\frac{a}{2-a}+\frac{b}{2-b}+\frac{c}{2-c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)-3}\)
Do đó ta cần Cm \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)-3}\ge3\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2+9\ge6\left(a+b+c\right)\)
Đúng theo Bđt cô si (đpcm)
cách 3:
\(Bdt\Leftrightarrow\frac{a}{2-a}+\frac{b}{2-b}+\frac{c}{2-c}\ge3\)
Ta chứng minh \(\frac{9}{2\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a^4+b^4+c^4\right)}\)
Thậy vậy, bất đẳng thức này tương đương
\(a^4+b^4+c^4+3\ge2\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
hay \(\left(a^4+a^2\right)+\left(b^4+b^2\right)+\left(c^4+c^2\right)\ge2\left(a^2+b^3+c^3\right)\)
Đúng theo Bđt co si
Dùng Bđt Cauchyschawarz và đánh giá trên ta có:
\(\frac{a}{2-a}+\frac{b}{2-b}+\frac{c}{2-c}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a^4+b^4+c^4\right)}\ge3\)
Đpcm
Cuộc đấu giữa các cộng tác viên với nhau
Cách 2 của bạn Thắng Nguyễn đoạn cuối nhầm chút
Bạn cần CM \(a+b+c>\frac{3}{2}\)rồi mới được nhân chéo
