đặt \(A=a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1}\)
\(2A=2a\sqrt{b^3+1}+2b\sqrt{c^3+1}+2c\sqrt{a^3+1}\)
\(2A=2a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}+2b\sqrt{\left(c+1\right)\left(c^2-c+1\right)}+2c\sqrt{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}\)
\(\le2a.\frac{b+1+b^2-b+1}{2}+2b.\frac{c+1+c^2-c+1}{2}+2c.\frac{a+1+a^2-a+1}{2}\)
\(=a\left(b^2+2\right)+b\left(c^2+2\right)+c\left(a^2+2\right)=ab^2+bc^2+ca^2+2\left(a+b+c\right)=ab^2+bc^2+ca^2+6\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\le b\le c\), ta có :
\(a\left(c-b\right)\left(b-a\right)\ge0\Leftrightarrow abc+a^2b\ge ab^2+a^2c\)
\(\Leftrightarrow a^2b+a^2c+bc^2\le abc+a^2b+bc^2\le2abc+a^2b+bc^2=b\left(a+c\right)^2\)
Mặt khác, theo BĐT Cô-si cho 3 số dương :
\(b\left(a+c\right)^2=4b.\frac{a+c}{2}.\frac{a+c}{2}\le\frac{4}{27}\left(b+\frac{a+c}{2}+\frac{a+c}{2}\right)^3=\frac{4}{27}.\left(a+b+c\right)^3=4\)
\(\Rightarrow2A\le10\Rightarrow A\le5\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a\le b\le c;a+b+c=3\\abc=2abc\\2b=a+c\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=0\\b=1\\c=2\end{cases}}}\)
cho mình sửa lại là cái đoạn giả sử \(a\le b\le c\)
mình sẽ giả sử \(\orbr{\begin{cases}a\ge c\ge b\\b\ge c\ge a\end{cases}}\) \(\Rightarrow b\left(a-c\right)\left(c-b\right)\ge0\)( cả 2 Th )
rồi giải ra tương tự như dưới ấy là được
