§1. Bất đẳng thức

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
phạm thảo

cho a,b,c là các số thực dương. Cmr

\(\dfrac{a^4}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{b^4}{c^3\left(a+b\right)}+\dfrac{c^4}{a^3\left(b+c\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)

Akai Haruma
14 tháng 5 2018 lúc 19:15

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(\frac{a^4}{b^3(c+a)}+\frac{c+a}{4a}+\frac{1}{2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^3}{8b^3}}=\frac{3a}{2b}\)

\(\frac{b^4}{c^3(a+b)}+\frac{a+b}{4b}+\frac{1}{2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{b^3}{8c^3}}=\frac{3b}{2c}\)

\(\frac{c^4}{a^3(b+c)}+\frac{b+c}{4c}+\frac{1}{2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{c^3}{8a^3}}=\frac{3c}{2a}\)

Cộng theo vế và rút gọn:

\(\Rightarrow \frac{a^4}{b^3(c+a)}+\frac{b^4}{c^3(a+b)}+\frac{c^4}{a^3(b+c)}+\frac{1}{4}(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})+\frac{9}{4}\geq \frac{3}{2}(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})\)

\(\Rightarrow \frac{a^4}{b^3(c+a)}+\frac{b^4}{c^3(a+b)}+\frac{c^4}{a^3(b+c)}\geq \frac{5}{4}(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})-\frac{9}{4}\geq \frac{5}{4}.3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}-\frac{9}{4}\)

hay \( \frac{a^4}{b^3(c+a)}+\frac{b^4}{c^3(a+b)}+\frac{c^4}{a^3(b+c)}\geq \frac{5}{4}.3-\frac{9}{4}=\frac{3}{2}\)

Ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)

Akai Haruma
14 tháng 5 2018 lúc 19:21

Cách khác:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\text{VT}=\frac{(\frac{a^2}{b})^2}{b(c+a)}+\frac{(\frac{b^2}{c})^2}{c(a+b)}+\frac{(\frac{c^2}{a})^2}{a(b+c)}\geq \frac{\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)^2}{b(c+a)+c(a+b)+a(b+c)}\)

Tiếp tục áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq \frac{(a+b+c)^2}{b+c+a}=a+b+c\)

\(\Rightarrow \left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)^2\geq (a+b+c)^2\)

Do đó: \(\text{VT}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac)}\)

Theo hệ quả quen thuộc của BĐT Cauchy: \((a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\)

Suy ra: \(\text{VT}\geq \frac{3(ab+bc+ac)}{2(ab+bc+ac)}=\frac{3}{2}\) (đpcm)


Các câu hỏi tương tự
Phan Thanh Tâm
Xem chi tiết
phạm thảo
Xem chi tiết
Phạm Lợi
Xem chi tiết
Phạm Kim Oanh
Xem chi tiết
Admin
Xem chi tiết
My My
Xem chi tiết
Phan Đình Trường
Xem chi tiết
Hiển Lê Quang
Xem chi tiết
phạm thảo
Xem chi tiết