Áp dụng BĐT cô-si, ta có
\(\left(a+b+c\right)^2\ge4a\left(b+c\right);\left(b+c\right)^2\ge4bc\)
Nhân từng vế, ta có \(\left(a+b+c\right)^2\left(b+c\right)^2\ge4a\left(b+c\right).4bc\Rightarrow b+c\ge16abc\left(ĐPCM\right)\)
dấu = xảy ra <=>\(\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b=c=\frac{1}{4}\end{cases}}\)
^_^
Câu trả lời hay nhất: áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm có
1 = (a + b+ c)^2 >= 4a(b + c)
<=> b +c >= 4a(b + c)^2
Mà (b + c)^2 >= 4bc
Vậy b + c >= 4a.4bc = 16abc
p/s:kham khảo
Áp dụng: (a+b)^2 >= 4ab (note: x^y là x mũ y)
Có [a+(b+c)]2 >= 4a(b+c) do a+b+c=1
suy ra 1 >= 4a(b+c)
do b,c không âm, nhân 2 vế với (b+c) được:
b+c >= 4a(b+c)^2, lại có 4a(b+c)^2 >=16abc
theo tc bắc cầu: b+c >= 16abc
Dấu bằng xảy ra khi: a=b+c và b=c, với gt a+b+c=1 ==> a=1/2, b=1/4, c=1/4 (ĐPCM)
đều đúng hết
p/s:kham khảo
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với \(\frac{b+c}{abc}\ge16\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel :
\(\frac{b+c}{abc}=\frac{b}{abc}+\frac{c}{abc}=\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{ac+ab}=\frac{4}{a\left(b+c\right)}\)(1)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM : \(a\left(b+c\right)\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{4}=\frac{1^2}{4}=\frac{1}{4}\)(2)
Từ (1) và (2) => \(\frac{b+c}{abc}\ge\frac{4}{\frac{1}{4}}=16\)=> đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> a = 1/2 ; b=c=1/4
