Question

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=4.Chứng minh rằng:

\(\sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{c^3}>2\sqrt{2}\)

Bạn nào biết giúp mình với

Answer 1

Ta có:

\(a+b+c=4\)

\(\Rightarrow\)  \(a< 4\)

\(\Rightarrow\)  \(a^4< 4a^3\)  (do  \(a>0\)  nên  \(a^3>0\)  )

Do đó,  \(a^3>\frac{a^4}{4}\)  hay nói cách khác,  \(\sqrt[4]{a^3}>\sqrt[4]{\frac{a^4}{4}}=\frac{a}{\sqrt[4]{4}}\)  \(\left(1\right)\)

Từ đó, ta cũng tương tự thiết lập được:   \(\sqrt[4]{b^3}>\frac{b}{\sqrt[4]{4}}\)  \(\left(2\right)\)  và   \(\sqrt[4]{c^3}>\frac{c}{\sqrt[4]{4}}\)  \(\left(3\right)\)

Cộng từng vế các bđt   \(\left(1\right);\)  \(\left(2\right);\)  và  \(\left(3\right)\)  ta có:

\(\sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{c^3}>\frac{a+b+c}{\sqrt[4]{4}}=\frac{4}{\sqrt[4]{4}}=2\sqrt{2}\)