a, b, c là 3 cạnh của tam giác vuông => a, b, c>0
Chứng minh \(a^{2n}+b^{2n}\le c^{2n}\) (1) quy nạp theo n.
+) Với n=1 \(a^2+b^2=c^2\) ( đúng)
+) Với n=2 \(a^4+b^4=\left(a^2+b^2\right)^2-2a^2b^2=c^4-2a^2b^2< c^4\)
=> (1) đúng với n=2
+) G/s: (1) đúng với n . Nghĩa là: \(a^{2n}+b^{2n}\le c^{2n}\)
Ta chứng minh (1) đúng với n+1
Thật vậy ta có:
\(a^{2\left(n+1\right)}+b^{2\left(n+1\right)}=a^{2n+2}+b^{2n+2}=a^{2n}.a^2+b^{2n}.b^2^{ }\)
\(=\left(a^{2n}+b^{2n}\right)\left(a^2+b^2\right)-a^2.b^{2n}-a^{2n}.b^2\le c^{2n}.c^2-a^2b^{2n}-a^{2n}.b^2< c^{2n}.c^2=c^{2\left(n+1\right)}\)
=> (1) đúng với n+1
Vậy (1) đúng với mọi n>0
'Vậy \(a^{2n}+b^{2n}\le c^{2n}\)
