Question

Cho a,b,c là 3 số dương và a + b +c = 1 CMR

\(\frac{ab+c}{a+b}+\frac{bc+a}{b+c}+\frac{ca+b}{c+a}\ge2\)

Answer 1

Từ giả thiết \(a+b+c=1\Rightarrow2a+2b+2c=2\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)=2\)

Lại có \(\frac{ab+c}{a+b}=\frac{a\left(a+b+c\right)+bc}{b+c}=\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}\)

Viết lại BĐT cần chứng minh như sau:

\(\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{b+c}+\frac{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}{c+a}\ge2\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}x=b+c\\y=a+c\\z=a+b\end{cases}}\) BĐT trên trở thành 

\(\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}\ge2\left(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\x+y+z=2\end{cases}}\right)\)

ĐÚng theo  BĐT AM-GM vậy c/m xong